HOOK · 시작 질문
사칙연산이 한 식 에 모이면?
When addition, multiplication, and division all show up at once — what comes first?
A LITTLE CHALLENGE
$2(x + 3) - x(x - 1) + 3x$는 어떻게 풀까요?
초등학교 계산 순서를 떠올려 봅시다 — 곱셈·나눗셈이 먼저, 덧셈·뺄셈이 나중 . 식에서도 같습니다. 다만 다항식에서는 곱셈·나눗셈이 끝나면 분배된 결과가 여러 항으로 흩어지므로, 마지막에 반드시 동류항을 정리 해야 합니다.
$2(x+3) = 2x + 6$, $-x(x-1) = -x^2 + x$. 식: $2x + 6 - x^2 + x + 3x$. 동류항: $-x^2 + 6x + 6$. ✓
이 차시는 Ⅱ-2 전체의 종합 연습 입니다. 덧·뺄(2.1) + 곱셈(2.2) + 나눗셈(2.3)을 모두 사용한 식, 그리고 도형 등의 활용 문제 까지 다룹니다.
CORE · 계산 순서
혼합 계산 3단계
A simple algorithm — always works.
ALGORITHM
다항식 혼합 계산의 3단계
1
전개·나눗셈 먼저
단항식 × 다항식(2.2), 다항식 ÷ 단항식(2.3)을 각각 분배해서 풀어 쓴다 . 거듭제곱이 있으면 거듭제곱부터.
2
괄호 정리
덧셈 괄호는 그대로, 뺄셈 괄호는 모든 항의 부호를 반전 한 뒤 푼다.
3
동류항 정리
차수가 높은 항부터 차례대로 계수를 모아서 합한다 . 결과는 보통 차수 내림차순으로 쓴다.
WORKED DEMO · 시연
단계별 시연
Watch the 3-step algorithm in action.
시연 ① · $2(x + 3) - x(x - 1) + 3x$
$2(x + 3) - x(x - 1) + 3x$
STEP 1 전개: $2(x+3) = 2x + 6$. $-x(x-1) = -x^2 + x$.
STEP 2 식: $2x + 6 - x^2 + x + 3x$.
STEP 3 동류항: $-x^2 + (2 + 1 + 3)x + 6 = -x^2 + 6x + 6$.
▶ $2(x + 3) - x(x - 1) + 3x = -x^2 + 6x + 6$
시연 ② · 나눗셈 포함 $(6x^2 - 4x) \div 2x + 3(x - 1)$
$(6x^2 - 4x) \div 2x + 3(x - 1)$
STEP 1 나눗셈: $(6x^2 - 4x) \div 2x = 3x - 2$. 전개: $3(x-1) = 3x - 3$.
STEP 2 식: $3x - 2 + 3x - 3$.
STEP 3 동류항: $(3 + 3)x + (-2 - 3) = 6x - 5$.
▶ $(6x^2 - 4x) \div 2x + 3(x - 1) = 6x - 5$
시연 ③ · 곱셈과 나눗셈 모두 $x(x + 1) - (x^2 + 2x) \div x$
$x(x + 1) - (x^2 + 2x) \div x$
STEP 1 곱셈: $x(x+1) = x^2 + x$. 나눗셈: $(x^2 + 2x) \div x = x + 2$.
STEP 2 식: $x^2 + x - (x + 2) = x^2 + x - x - 2$ (뺄셈 괄호 부호 반전).
STEP 3 동류항: $x^2 + 0 - 2 = x^2 - 2$.
▶ $x(x + 1) - (x^2 + 2x) \div x = x^2 - 2$
APPLICATIONS · 활용
다항식 계산은 어디에 쓰일까?
From geometry to physics — polynomials describe quantities that depend on variables.
APP 01
도형의 넓이·부피
가로·세로·높이가 식으로 주어진 사각형·직육면체. 합·차의 넓이 도 다항식 계산으로 푼다.
넓이 = 가로 × 세로
APP 02
물리량의 변화
시간 $t$에 따라 변하는 위치·속도·에너지. 여러 항이 더해지고 미분/적분의 토대가 된다.
$s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2$
APP 03
곱셈공식의 토대
3학년의 $(a+b)^2$ , $(a+b)(a-b)$ 같은 곱셈공식의 모든 전개는 이 단원의 분배법칙에서 나온다.
3학년으로 연결
APP 04
방정식·부등식의 정리
3차시(Ⅲ)에서 배울 일차부등식 과 연립방정식 도 결국 다항식 정리가 시작점.
Ⅲ단원으로 연결
WORKED EXAMPLES · 예제
함께 풀어보기
Two examples — one mixed, one applied to geometry.
EXAMPLE 01
사칙연산 종합
다음 식을 간단히 하시오: $\quad 2x(x - 1) + (4x^2 + 6x) \div 2$
1
전개 : $2x(x - 1) = 2x^2 - 2x$.
2
나눗셈 : $(4x^2 + 6x) \div 2 = 2x^2 + 3x$.
3
식: $2x^2 - 2x + 2x^2 + 3x$.
4
동류항 : $(2+2)x^2 + (-2+3)x = 4x^2 + x$.
▶ 답: $4x^2 + x$
EXAMPLE 02
활용 · 두 사각형의 넓이의 차
가로 $2x + 3$, 세로 $x$인 직사각형의 넓이에서, 가로 $x$, 세로 $x - 1$인 직사각형의 넓이를 뺀 결과는?
1
첫째 넓이: $(2x + 3) \cdot x = 2x^2 + 3x$.
2
둘째 넓이: $x(x - 1) = x^2 - x$.
3
차: $(2x^2 + 3x) - (x^2 - x) = 2x^2 + 3x - x^2 + x$.
▶ 답: $x^2 + 4x$
PRACTICE · 연습 문제
스스로 풀어보기
8 problems graded by difficulty.
★ 기본 (3)
★★ 응용 (3)
★★★ 심화 (2)
$3(x + 2) + 2x$를 간단히 하시오. (답 형식: 5x+6 )
확인 풀이
SOLUTION
$3x + 6 + 2x = 5x + 6$.
$(4a^2 + 2a) \div 2a - 3$을 간단히 하시오. (답 형식: 2a-2 )
확인 풀이
SOLUTION
$(4a^2 + 2a) \div 2a = 2a + 1$. 따라서 $2a + 1 - 3 = 2a - 2$.
$2x \cdot x + 5(x - 1)$을 간단히 하시오. (답 형식: 2x^2+5x-5 )
확인 풀이
SOLUTION
$2x \cdot x = 2x^2$. $5(x-1) = 5x - 5$. 합: $2x^2 + 5x - 5$ (동류항 없음).
$2(x + 3) - x(x - 1) + 3x$를 간단히 하시오. (답 형식: -x^2+6x+6 )
확인 풀이
SOLUTION
전개: $2(x+3) = 2x + 6$, $-x(x-1) = -x^2 + x$.
식: $2x + 6 - x^2 + x + 3x$.
동류항: $-x^2 + (2+1+3)x + 6 = -x^2 + 6x + 6$.
$(6x^2 - 4x) \div 2x + 3(x - 1)$을 간단히 하시오. (답 형식: 6x-5 )
확인 풀이
SOLUTION
나눗셈: $(6x^2 - 4x) \div 2x = 3x - 2$.
전개: $3(x-1) = 3x - 3$.
합: $3x - 2 + 3x - 3 = 6x - 5$.
$x(x + 1) - (x^2 + 2x) \div x$를 간단히 하시오. (답 형식: x^2-2 )
확인 풀이
SOLUTION
곱셈: $x(x+1) = x^2 + x$. 나눗셈: $(x^2 + 2x) \div x = x + 2$.
식: $x^2 + x - (x + 2) = x^2 + x - x - 2 = x^2 - 2$.
$A$ 직사각형 넓이 = $x(2x + 5)$, $B$ 직사각형 넓이 = $2(x^2 - 3x)$일 때, $A + B$의 값은? (답 형식: 4x^2-x )
확인 풀이
SOLUTION
$A = x(2x + 5) = 2x^2 + 5x$.
$B = 2(x^2 - 3x) = 2x^2 - 6x$.
$A + B = 2x^2 + 5x + 2x^2 - 6x = 4x^2 - x$.
가로 $2x + 3$, 세로 $x$인 직사각형의 넓이에서, 가로 $x$, 세로 $x - 1$인 직사각형의 넓이를 뺀 결과 는? (답 형식: x^2+4x )
확인 풀이
SOLUTION
첫째: $(2x+3) \cdot x = 2x^2 + 3x$. 둘째: $x(x-1) = x^2 - x$.
차: $(2x^2 + 3x) - (x^2 - x) = 2x^2 + 3x - x^2 + x = x^2 + 4x$.